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2004年,两位数学家提出了一种“三明治”的设想。它不是用来吃的,而是用来“看懂”复杂网络的。
他们研究的对象是“图”:由点和线组成的结构,可以代表社交群体、互联网,甚至大脑里的神经元。他们想把一种难分析的图,夹在两片更简单的图中间。
这个“三明治猜想”悬了二十多年,直到2025年,三位数学家终于把它做成了。
完成者是英国华威大学的理查德·蒙哥马利,与他当时的博士后娜塔莉·贝哈格,以及博士生丹尼尔·伊尔科维奇。他们的做法,像是把奶酪撕成碎屑,一点点铺上去。
图的两种“口味”:一种好分析,一种难啃
上世纪50年代末,美国数学家埃德加·吉尔伯特在贝尔实验室研究电话网络。
马克·贝兰/ 《量子杂志》
为了理解这些网络,他设计了一个简单的“随机图”模型。做法是:对每一对点抛一枚硬币,正面就连线,反面就跳过。
Kim 和 Vu 推测，只要你的正则图具有合理数量的边，你几乎总能构建出这种三明治结构。（在新标签页中打开）。
这类图叫“随机二项图”。它们相对好分析,数学家证明了许多有趣的性质。比如到了上世纪70年代,人们就弄清了在什么条件下,它会包含一个“哈密顿圈”,也就是恰好经过每个点一次的路径。
但还有另一类随机图:每个点的连线数量都相同,叫“正则图”。
它们往往更贴近现实中的网络,也更能反映随机结构。
可代价是,连线之间互相牵制,分析起来困难得多。同样是哈密顿圈的问题,二项图解决之后,又过了大约20年,正则图才被攻克。
“三明治”:让难题“白捡”答案的妙招
于是有人想到:能不能用简单的二项图,来近似难啃的正则图?
如果能,那么正则图的许多难证性质,就能从对应的二项图那里“免费”获得。
理查德·蒙哥马利帮助设计了一种数学三明治的配方，这种三明治功能强大但制作起来却很困难。 丽莎·绍尔曼
21世纪初,当时在微软研究院的金正汉(Jeong Han Kim),和当时在加州大学圣迭戈分校的武河文(Van Ha Vu),给出了做法:造一个“图三明治”。
大意是:找到一个“配方”,也就是一个随机过程,同时造出一张二项图和一张正则图,并让它们以特定的方式嵌套。
下片面包,是造出一张正则图,让它包含一张二项图。上片面包,则是让这张正则图,被包含在一张更大的二项图之内。中间的“奶酪”,就是正则图本身。
如果那张二项图的某个性质,在“加边”时更容易出现,那么包含它的正则图,也会有这个性质。反之,如果性质在“删边”时更容易出现,上片“面包”也能给出同样的保证。
二十一年的“配方”:三位数学家怎么做
多年来,数学家证明了“下片面包”的存在,也在某些情形下证明了“上片面包”。
特拉维夫大学的迈克尔·克里韦列维奇说,那是“一环扣一环的想法”,每一步都需要非常好的技巧和巧思。
但三明治,始终没能完整做成。
娜塔莉·贝哈格称她最近帮助证实的这一猜想“好得几乎难以置信”。 凯兰·奥布莱恩/都柏林城市大学
2023年,三位数学家开始思考:能不能一条边一条边地,同时造出正则图和二项图,并保证每一步,正则图都包含二项图?
他们的方法,大幅改编自加拿大滑铁卢大学的高璞(Pu Gao)及两位同事2019年的一项成果。具体做法是:对每一对点抛一枚硬币,正面就在二项图和正则图里都加一条边。
若是反面,二项图不加边,但正则图可能需要加边,因为正则图要保证每个点的连线数相同。
于是再抛第二枚硬币,来决定正则图加不加边。三位数学家想出了一种巧妙的估算方式,保证最终得到的,确实是一张正则图,并且它包含那张二项图。
造上片“面包”时,他们把整个过程倒过来:从包含所有可能边的两张图出发,一条边一条边地删除。最终,一个完整的三明治,出炉了。
“免费的边”:这个定理带来什么
有了这个结果,数学家不必再从头证明随机正则图的每一条性质。
他们可以借用关于随机二项图的浩如烟海的文献,自动得到各种性质。这意味着,许多关于正则图的结果,可以改写成一份统一、精简的证明。
以色列希伯来大学的吉尔·卡莱称这个证明是一个“元定理”,认为它“丰富了我们的工具箱”,也“磨利了我们的技术牙齿”。
数学家们还希望,做出更复杂的三明治:比如夹着二项图和正则图交替层的,或者含有其他“配料”的。
这样,他们能继续探索:一种受到严格约束、一种相对自由,这两种看似不同的随机过程,其实比看上去更相似。
贝哈格说,这种深层联系,“几乎好得不像真的”。而它,确实是真的。
对普通人而言股票配资怎么操作,这类研究看似抽象,却关乎我们如何理解网络的本质。理解随机图的规律,就能更好地判断:一个网络,什么时候会连通,什么时候会分崩离析。
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